Le futur, même incertain, se construit au présent

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Gsef-mcr

Gérard Seguin Études et Formation

Modélisation des Coûts et des Risques

1.2 - Risques projet

Les risques projet incluent ici les risques techniques, réglementaires, contractuel, financiers, etc.. Il permettent de prendre en compte les événements non prévus mais prévisibles, susceptibles d'impacter négativement ou positivement le déroulement de chaque scénario.

Dans chaque situation, la liste des risques à considérer dépend de la nature du projet et du scénario qui le décrit. Pendant la phase d'identification des risques, il est utile de s'appuyer sur une liste générique qui contient par exemple les risques suivants.


Objet de l'analyse

L'analyse considérée ici est complémentaire mais de nature différente du management des risques. Elle a pour finalité d'estimer l'impact financier des risques de toute nature et de l'intégrer dans le coût du projet.

La part du coût associée aux risques n’est pas calculée à partir de coefficients forfaitaires de provision pour risques et de marge mais résulte d’une analyse rigoureuse des risques portés par le projet. Cela offre une bonne visibilité en phase de négociation ou lors de la fixation d'un prix.

1.1 - Prise en compte de l'aléa

Il n'est pas réaliste d'estimer le coût global d'un projet pouvant s'étaler sur une longue période avec une modélisation déterministe.

Les dépenses réelles constatées dans le déroulement du projet seront nécessairement différentes des prévisions faites lors de la préparation du projet. Cet écart entre la prévision et la réalisation a deux causes principales :

  1. Le projet ne s'est pas déroulé conformément au scénario initial qui a été perturbé par des évènements non prévus ;
  2. Les données élémentaires prévisionnelles utilisées pour estimer les coûts associés au scénario se sont avérées inexactes.

Les risques couvrent donc  deux types d'aléa: les risques projets associés au scénario et les risques d'incertitude liés aux données prévisionnelles.

La notion de risque n'est pas limitée à des événements redoutés et peut s'étendre à des événements souhaités que l'on nomme généralement "opportunité". C'est le cas de situations telles que gagner au jeu, réussir un examen ou payer un produit moins cher que prévu.

Les risques

1 - L’analyse de risque

Prise en compte de l’aléa

Les risques projet

L’incertitude des données

Mise en œuvre de l’analyse

2 - Modélisation des risques

3 - Agrégation des risques

Coût global d’un projet

Somme de variables aléatoires

Exemple avec des lois uniformes

4 - Comparaison de plusieurs scénarios

1.3 - Données incertaines

Le coût d'un projet est estimé à partir de données prévisionnelles sur les coûts élémentaires (coût annuel d'un technicien de maintenance, d'un opérateur, prix des équipements et des matériaux nécessaires…), les quantités  concernées (effectifs dédiés à la maintenance, à l'entretien…), les données économiques et financières (taxes, assurances, inflation, taux d'intérêt…)…

Lors des études préalables, ces données ne sont toujours déterminées de façon exacte ou définitive. Dans ce cas, il est nécessaire de rendre compte de l'incertitude (ou de l'imprécision) des données dans le coût du projet.

L’imprécision des données est assimilée à un risque dit "risque d’incertitude".



1.4 - Mise en œuvre

L’analyse des risques se déroule sur plusieurs phases :

  1. l'identification qui permet de dresser une liste exhaustive des risques à considérer dans l'étude (à partir d'une typologie générique des risques préétablie),
  2. l'analyse qualitative qui comporte la description de chaque risque, l'analyse des causes et des impacts, la probabilité d'occurrence et le partage des risques entre les acteurs lorsque le projet en comporte plusieurs,
  3. la modélisation qui permet de traduire de façon quantitative les résultats de l'analyse qualitative,
  4. l'agrégation de l'ensemble des risques.


Un risque est un événement dont l'occurrence et/ou l'impact ne peuvent être prévus avec certitude. Il est donc modélisé par une probabilité d'occurrence et un Impact.

Dans l'exemple ci-contre, la probabilité la plus élevée est naturellement associée à la valeur probable de l'impact.

Cette probabilité décroît linéairement pour atteindre 0 aux valeurs minimale et maximale. Le risque (ou l'impact) est ici modélisé par une distribution triangulaire.

2.2 - Impact

La modélisation de l'impact consiste à définir la variable aléatoire (VA) qui représente au mieux les conséquences possibles du risque avec les probabilités associées. L'impact peut être modélisé par une loi (ou distribution) de probabilité paramétrique,

ou empirique, c'est-à-dire définies par les valeurs possibles et les probabilités associées.

Exemples

2 - Modélisation des risques

Valorisation des impacts

Les impacts sont généralement définis en termes de coûts, délais ou performances. Si l'analyse de risques s'insère dans l'estimation du coût d'un projet, il peut être utile de traduire les impacts "délais" ou "performances" en termes de coûts. Dans ce cas, le coût global du projet rend compte des risques de toute nature associés au projet.

Lorsque la modélisation repose sur des avis d'experts et pour les risques modélisés par une loi continue, l'approche la plus naturelle et la plus simple consiste à définir :

Cette représentation est généralement utilisée pour les risques d'incertitude.


3 - Agrégation des risques : coût d'un projet

3.1 - Coût global d’un projet

Le coût du projet est égal à la somme :

Les rubriques de coûts calculées à partir de données entachées d'incertitude ainsi que les risques projet sont des variables aléatoires. Il en est donc de même du coût du projet qui n'est autre qu'une somme de variables aléatoires et de valeurs constantes (les rubriques calculées avec des données certaines).


N est généralement compris entre 10 000 et 100 000

Smin = Xmin + Ymin

Smax = Xmax + Ymax

A chaque boucle, x+y se trouve dans un intervalle situé entre Smin et Smax

On obtient ainsi N réalisations de la somme ce qui permet de tracer l'histogramme de la somme et de calculer les valeurs caractéristiques mentionnées ci-dessus.

Lorsque les risques ne sont pas indépendants, leur sommation doit tenir compte des liens éventuels. Une façon d'introduire ces liens consiste à définir des corrélations entre certaines variables.

Les algorithmes de génération de nombres aléatoires doivent alors tenir compte de ces corrélations.

Ignorer les dépendances entre les variables a pour effet de réduire l'écart type de la somme et donc de sous estimer le risque associé au coût moyen.


Le coût du projet est décrit par une variable aléatoire (courbe en bleu) qui associe à chaque valeur (en abscisse) la densité de probabilité (en ordonnée : ce n'est pas une probabilité car le coût est une variable continue). L'agrégation des coûts et des risques permet d'identifier les valeurs caractéristiques suivantes.

La courbe ci-contre présente la VaR à 95%, ce qui signifie qu'en tenant compte des risques de toute nature, le coût du projet sera inférieur à cette valeur avec une probabilité de 0,95.


3.2 - Somme de variables aléatoires

La somme des variables aléatoires est obtenue par simulation de Monte-Carlo. Cette technique est décrite par le schéma suivant qui effectue la somme des 2 variables aléatoires X et Y.

3.3 - Simulateur de sommes de variables aléatoires continues uniformes indépendantes

Cette application permet de faire la somme de plusieurs variables aléatoires (VA) uniformes indépendantes. Cette somme est notée SomVA.

Chaque VA uniforme est définie par ses valeurs minimale et maximale, par exemple 20 et 25.

SomVA, obtenue par simulation de Monte-Carlo, est une VA définie par les caractéristiques suivantes :

Le quantile est égal à la valeur de SomVA qui n'est dépassée que dans 5% des cas. Cette valeur, qui représente le Max de SomVA avec un risque de 5%, est appelée "Valeur à Risque (VaR)".

Saisie des données

Le nombre de variables à sommer est ici limité à 5. Pour chaque variable, saisir ses valeurs minimale et maximale. Utiliser le point pour les valeurs décimales.

Le coût global d'un scénario est défini par une variable aléatoire dont la distribution de probabilité a été établie par la simulation de Monte-Carlo. La comparaison des coûts globaux de plusieurs scénarios se ramène donc à la comparaison des variables aléatoires associées. Or, la comparaison visuelle des courbes ne permettant pas de valoriser les écarts, il est nécessaire d'utiliser certaines valeurs caractéristiques des distributions de probabilité.

Les critères généralement considérés sont la moyenne, l'écart type (qui représente la dispersion autour de moyenne) et la VaR à 95% (qui représente la valeur maximale à 95%). En pratique, le poids implicite des critères "moyenne" et "VaR" dépend du degré d'aversion au risque du décideur.

La figure ci-contre présente les coûts globaux actualisés de 2 scénarios basés sur deux équipements différents permettant de répondre au même besoin sur une période de 10 ans.

Le coût global hors risques du scénario 2 (S2) est inférieur à celui de S1. En introduisant les risques, les coûts globaux moyens sont presque identiques. Cependant le scénario S2 est le plus risqué car sa distribution présente une dispersion plus grande que celle de S1 et sa VaR est significativement plus élevée.

Cette application permet, entre autres, de corriger une erreur fréquemment rencontrée : la somme de variables uniformes n'est pas une variable uniforme, sauf lorsqu'elles sont linéairement dépendantes, ce qui n'est généralement pas le cas en analyse de risques.



VA 1 VA 2 VA 3 VA 4 VA 5
Min
Max

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Critères de comparaison

Choix

Coût global sans risque

S2

Valeur moyenne du coût global avec risques

S1 et S2 sont équivalents

Coût global moyen et VaR

S1

1 - L’analyse de risques

4 - Comparer plusieurs scénarios

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ComparS1S2.gif

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2.1 - Probabilité d’occurrence

La probabilité d'occurrence est généralement représentée par une valeur unique ou bien une loi de probabilité simple (uniforme, triangulaire) sur [0; 1] ou sur un intervalle inclus dans [0; 1].

Pour les risques d'incertitude, la probabilité d'occurrence est égale à 1 sinon l'incertitude n'existerait pas.